ЕГЭ 2018. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень)

Эта книга в значительной своей части посвящена уравнениям и неравенствам с параметрами, т. е. уравнениям и неравенствам, содержащим наряду с неизвестной величиной ещё и буквенные параметры, при различных числовых значениях которых меняется число решений уравнения или неравенства, а иногда и его вид. Решение задач с параметрами предполагает, в сущности, определённую исследовательскую деятельность, требующую внимания и уверенного владения материалом школьной программы по математике во всей её полноте, умения выдвигать и проверять гипотезы, проводить (в том числе и достаточно разветвлённые) логические построения и делать выводы.

ЕГЭ 2018. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень)

 

Поэтому такие задания относятся к сложным и располагаются в вариантах вступительных экзаменов и ЕГЭ по математике на последних позициях, предназначенных для тех выпускников и абитуриентов, которые претендуют на высокий экзаменационный балл.

По формулировке любую задачу с параметром можно отнести к одной из двух следующих групп:

— найти все значения параметра, для каждого из которых выполняются те или иные условия (уравнение, неравенство или система имеют определённое число решений; решение принадлежит определённому множеству или удовлетворяет определённым ограничениям и т. п.; сами решения находить при этом, как правило, не требуется);

— найти все значения параметра, при каждом из которых задача имеет хотя бы одно решение, и указать эти решения для каждого такого значения параметра (кратко: «при каждом значении параметра решить уравнение (неравенство, систему)».

В дальнейшем для экономии места условия задач второй группы будем иногда приводить именно в краткой формулировке.

Разумная классификация задач с параметром по методам решений достаточно затруднительна, поскольку каждая из них является в определённой степени нестандартной. В этой книге, как и в книге [1], послужившей для неё своего рода прообразом, задачи классифицируются по принципу «ключевой идеи» — идеи, позволяющей найти ключ к решению. В пояснительных текстах параграфов разъясняются эти идеи и приводятся примеры с решениями, иллюстрирующими применение этих идей. В каждом параграфе приведены упражнения для самостоятельного решения, позволяющие закрепить и отработать изученный материал. Большинство задач взяты из опубликованных вариантов вступительных экзаменов и предметных олимпиад в различные вузы, открытых вариантов диагностических и тренировочных работ и ЕГЭ по математике; некоторые задачи составлены специально для этой книги.

Наряду с задачами с параметрами в книгу включены уравнения, неравенства и системы, которые принято считать нестандартными, поскольку их сведение к простейшим уравнениям и неравенствам основано не на стандартных алгебраических преобразованиях, а на иных идеях (монотонности, ограниченности, инвариантности, графических или геометрических интерпретациях и т. п.), аналогичных тем, что применяются для решения части задач с параметром.

По сравнению с прошлым годом книга существенно доработана и дополнена.

Автор признателен и благодарен О.А.Васильевой за внимательное и неравнодушное чтение рукописи, замечания и предложения, в немалой степени способствовавшие улучшению книги.

Предложения интернет-магазинов