ЕГЭ 2020. Математика. Решение задач. Мирошин В.В., Рязановский А.П.

ЕГЭ 2020. Математика. Решение задач. Данная книга адресована в первую очередь тем, кто желает успешно подготовиться к вступительным экзаменам в вуз и к единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике и получить высокие баллы. Поскольку ЕГЭ — это не только выпускной школьный экзамен, но и вузовский вступительный экзамен, предусматривающий проверку знаний по всему школьному курсу, в пособие включены задачи и краткие справочные материалы по всему курсу математики: как по арифметике и алгебре для 7—11 классов, так и по курсу начал анализа 10—11 классов.

ЕГЭ 2020. Математика. Решение задач. Мирошин В.В., Рязановский А.П.

Описание учебника

Содержание
Введение 3
Глава 1. ЧИСЛА. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ, ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 5
§ 1. Основные понятия и определения 5
§ 2. Формулы сокращенного умножения 15
§ 3. Свойства степеней и логарифмов 17
§ 4. Тригонометрические формулы 23
§ 5. Обратные тригонометрические функции 28
Глава 2. ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ 35
§ 1. Основные понятия и определения 35
§ 2. Некоторые классы элементарных функций 36
§ 3. Нахождение функции из уравнения 43
§ 4. Исследование функций 47
§ 5. Исследование функции при помощи производной 66
§ 6. Первообразная функции и ее применение 89
§ 7. Задачи, использующие различные свойства функций 96
Глава 3. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И ИХ СИСТЕМ 102
§ 1. Основные понятия. Определения. Теоремы о равносильных преобразованиях 102
§ 2. Целые алгебраические уравнения 104
§ 3. Рациональные алгебраические уравнения 125
§ 4. Решение уравнений, содержащих несколько переменных 138
§ 5. Решение систем линейных уравнений 146
§ 6. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений 175
§ 7. Решение неравенств 190
Глава 4. РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ 206
§ 1. Иррациональные уравнения и системы уравнений 206
§ 2. Решение иррациональных неравенств 220
Глава 5. РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ 234
§ 1. Решение показательных уравнений и систем уравнений 234
§ 2. Решение показательных неравенств 247
§ 3. Решение логарифмических уравнений и неравенств 252
§ 4. Решение логарифмических неравенств 266
Глава 6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ, СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВА 277
§ 1. Простейшие тригонометрические уравнения 277
§ 2. Приемы решения тригонометрических уравнений 283
§ 3. Тригонометрические уравнения повышенной сложности 307
§ 4. Решение систем тригонометрических уравнений и тригонометрических уравнений, приводимых к ним 330
§ 5. Решение тригонометрических неравенств 340

Кинетическая энергия тела (в джоулях) вычисляется по формуле Е = , где т —
масса тела (в килограммах), а и — его скорость (в м/с). Пользуясь этой формулой, найдите Е (в

джоулях), если v = 8 м/с и т = 7 кг.
Ответ: _
5. Найдите cos а, если sin а = -— и 90° < а < 180°.
10
Ответ: _.
6. Стоимость проездного билета на месяц составляет 580 рублей, а стоимость билета на одну

поездку — 20 рублей. Аня купила проездной и сделала за месяц 41 поездку. На сколько рублей

больше она бы потратила, если бы покупала билеты на одну поездку?
Ответ: .
Найдите корень уравнения log7 (2х + 3) = 1.
Ответ:
8. От столба высотой 9 м к дому натянут провод, который крепится на высоте 3 м от земли (см.

рисунок). Расстояние от дома до столба 8 м. Найдите длину провода. Ответ дайте в метрах.
Ответ:
9. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу

первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ ЗНАЧЕНИЯ
A) масса футбольного мяча 1) 18 кг Б) масса дождевой капли 2) 2,8 т
B) масса взрослого бегемота 3) 20 мг Г) масса стиральной машины 4) 750 г
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
Ответ:
А Б В Г

10. В фирме такси в данный момент свободно 16 машин: 3 чёрных, 4 жёлтых и 9 зелёных. По вызову

выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того,

что к нему приедет жёлтое такси.
Ответ: _.
11. На рисунке показано изменение атмосферного давления в течение трёх суток. По горизонтали

указаны дни недели и время, по вертикали — значения атмосферного давления в миллиметрах

ртутного столба.
Определите по рисунку значение атмосферного давления во вторник в 12:00. Ответ дайте в

миллиметрах ртутного столба.
Ответ:

13. В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 5 л воды. После полного

погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,4 раза. Найдите объём детали. Ответ

дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.

18. Во время диспансеризации в некоторой школе измерили рост одиннадцатиклассников.

Оказалось, что рост каждого мальчика больше 180 см и меньше 195 см. Выберите утверждения,

которые верны при указанных условиях.
1) Среди одиннадцатиклассников этой школы обязательно есть мальчик, рост которого равен

200 см.
2) Среди одиннадцатиклассников этой школы нет мальчиков с ростом 179 см.
3) Рост любого мальчика из одиннадцатых классов в этой школе меньше 195 см.
4) Разница в росте между любыми двумя мальчиками из одиннадцатых классов этой школы больше

15 см.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных

символов.
Ответ: _.
19. Найдите трёхзначное число А, обладающее тремя свойствами:
• сумма цифр числа а делится на 7;
• сумма цифр числа А + 2 делится на 7;
• число а больше 300 и меньше 350.
В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. Ответ: _.
20. На ленте по разные стороны от середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и

красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 35 см длиннее другой.

Если разрезать ленту по синей полоске, то одна часть будет на 5 см длиннее другой. Найдите

расстояние (в сантиметрах) между красной и синей полосками.
Ответ:
Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии с инструкцией по выполнению

работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером соответствующего задания.

10. На олимпиаде по русскому языку участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух

аудиториях сажают по 130 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе.

При подсчёте выяснилось, что всего было 400 участников. Найдите вероятность того, что случайно

выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
Ответ:
11. На рисунке жирными точками показана цена олова на момент закрытия биржевых торгов во все

рабочие дни с 26 ноября по 7 декабря 2018 года. По горизонтали указаны числа месяца, по

вертикали — цена олова в долларах США за тонну. Для наглядности жирные точки на рисунке

соединены линиями.
Определите по рисунку наименьшую цену олова на момент закрытия торгов за данный период. Ответ

дайте в долларах США за тонну.
Ответ:
37
12. Семья из трёх человек планирует поехать из Москвы в Чебоксары. Можно ехать поездом, а можно

— на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 1921 рубль. Автомобиль расходует 7

литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена бензина 45

рублей за литр. Сколько рублей придётся заплатить за наиболее дешёвую поездку на троих?
Ответ:
13. Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h = 10 см. На каком уровне окажется

вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое меньше,

чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.
Ответ:
14. На рисунке изображён график функции у — f (х) и отмечены точки А, Б, С и D на оси Ох.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристики функции и её

производной.

ТОЧКИ ХАРАКТЕРИСТИКИ
А) А 1) значение функции в точке положительно, а значение производной
Б) В функции в точке отрицательно
В) С 2) значение функции в точке отрицательно и значение производной
Г) D функции в точке отрицательно
3) значение функции в точке положительно функции в точке положительно и

значение производной
4) значение функции в точке отрицательно, функции в точке положительно а

значение производной
В таблице для каждой точки укажите номер соответствующей характеристики.
Ответ: .
А Б В Г

15. В треугольнике abc угол с равен 90°, ав = 50, cos а = —. Найдите длину стороны вс.
25
Ответ:
16. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2, а высота пирамиды равна 4V3 .

Найдите объём этой пирамиды.
Ответ:
18. Повар испёк для вечеринки 45 кексов, из них 15 кексов он посыпал кокосовой стружкой, а 20

кексов посыпал сахарной пудрой. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.
1) Хотя бы 16 кексов посыпаны и сахарной пудрой, и кокосовой стружкой.
2) Найдётся 10 кексов, которые ничем не посыпаны.
3) Не может оказаться больше 15 кексов, посыпанных и сахарной пудрой, и кокосовой

стружкой.
4) Если кекс посыпан сахарной пудрой, то он посыпан кокосовой стружкой.
39
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных

символов.
Ответ: _.
19. Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 8, и на 10 даёт равные

ненулевые остатки и первая цифра справа в записи которого является суммой двух других цифр. В

ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Ответ: _.
20. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за

прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на

координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, совершив ровно 4 прыжка?
Ответ: _.
Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии с инструкцией по выполнению

работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером соответствующего задания.

10. На олимпиаде по русскому языку участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух

аудиториях сажают по 110 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе.

При подсчёте выяснилось, что всего было 400 участников. Найдите вероятность того, что случайно

выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
Ответ:
11. На рисунке жирными точками показана цена золота, установленная Центробанком РФ во все

рабочие дни в октябре 2009 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена

золота в рублях за грамм. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линиями.
Определите по рисунку наименьшую цену золота за данный период. Ответ дайте в рублях за грамм.
Ответ:
42
12. Семья из трёх человек планирует поехать из Санкт-Петербурга в Вологду. Можно ехать поездом,

а можно — на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 1500 рублей. Автомобиль

расходует 8 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена

бензина 45 рублей за литр. Сколько рублей придётся заплатить за наиболее дешёвую поездку на

троих?
Ответ: _.
13. Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h = 40 см. На каком уровне окажется

вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в полтора

раза меньше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.
Ответ:

18. Повар испёк 50 рогаликов, из них 15 рогаликов он посыпал корицей, а 20 рогаликов посыпал

сахаром. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.
1) Найдётся 10 рогаликов, которые ничем не посыпаны.
2) Если рогалик посыпан сахаром, то он посыпан и корицей.
3) Не может оказаться больше 20 рогаликов, посыпанных и сахаром, и корицей.
4) Найдётся 20 рогаликов, посыпанных и сахаром, и корицей.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных

символов.
Ответ: ___
44
19. Найдите трёхзначное натуральное число, большее 400, которое при делении и на 6, и на 5

даёт равные ненулевые остатки и первая цифра в записи которого является средним арифметическим

двух других цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Ответ:
20. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за

прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на

координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, совершив ровно 12 прыжков?
Ответ:
Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии с инструкцией по выполнению

работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером соответствующего задания.
ВАРИАНТ 8
Ответом к каждому заданию является конечная десятичная дробь, или целое число, или

последовательность цифр. Ответ сначала запишите в поле ответа в тексте работы, а затем

перенесите в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера соответствующего задания. Каждую цифру, знак

«минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами.

Единицы измерений писать не нужно.

10. На олимпиаде по химии участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух

аудиториях сажают по 140 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе.

При подсчёте выяснилось, что всего было 400 участников. Найдите вероятность того, что случайно

выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

Предложения интернет-магазинов