ОГЭ. Математика. Методика подготовки. Ключи и ответы

ОГЭ. Математика. Методика подготовки. Ключи и ответы. Пособие предназначено для использования в учебном процессе в качестве дополнения к основному учебно-методическому комплекту по предмету и может стать основой для внеурочных самостоятельных и факультативных занятий по подготовке к ОГЭ или систематического курса итогового повторения и ликвидации пробелов в знаниях учащихся основной школы. Оно включает в себя три модуля: «Реальная математика», «Алгебра», «Геометрия», в целом соответствующие одноимённым модулям ОГЭ.

ОГЭ. Математика. Методика подготовки. Ключи и ответы

Описание учебника

4) Найдите длину наибольшего из промежутков возрастания функции.
5) Определите число точек минимума функции у = f(x).
6) Определите число точек экстремума функции у = f(x).
Решение.
1) Наименьшее значение функции f(x) достигается в точке х = — 1.
2) Наибольшее значение функции f(x) равно 4 (оно достигается в точке х = 5).
3) Если провести горизонтальную прямую у = 2, то она пересечёт график в пяти точках, две из которых — это точки С и F, а три не обозначены. Значит, из данных точек только в точках С и F функция принимает значение у = 2.
4) Наибольшим по длине промежутком возрастания функции является отрезок [-1; 2]. Его длина равна 3.
5) Точки минимума — это точки, в которых убывание функции сменяется возрастанием. Для данного графика такими точками являются точки с абсциссами, равными -1, 4, 7, 10. Значит, у функции f(x) всего 4 точки минимума.
6) Точка экстремума — это точка максимума или точка минимума. У функции f(x) 4 точки минимума и 4 точки максимума, значит, у неё 8 точек экстремума.
Уроки 95—96. График линейной функции
Напомним, что графиком линейной функции является прямая, уравнение прямой имеет вид у = kx + + Ь, а для построения этой прямой достаточно задать координаты двух её точек. Поскольку г/(0) = Ь, прямая у = kx + b пересекает ось ординат в точке (0; Ъ) (в силу чего коэффициент b называют начальной ординатой). Прояснить смысл коэффициента k удобнее всего на примере прямой у = kx, проходящей через начало координат и точку (1; k). Если k > 0, то тангенс угла а, который эта прямая образует с положительным направлением оси абсцисс, находят из прямоугольного треугольника с вершинами в точках (0; 0), (1; k) и (1; 0) и катетами, равными 1 и k. Он будет равен отношению противолежащего этому углу катета к прилежащему: tga = у = k (рис. 44).
Решение довольно значительной части задач ОГЭ (и даже ЕГЭ), связанных с графиками функций, сводится к вычислению углового коэффициента некоторой прямой, изображённой на листе бумаги в клетку. Такие задачи решаются следующим образом: на прямой выбирают две точки, которые являются узлами клеток (т. е. точками с целочисленными координатами), и рассматривают прямоугольный треугольник, концами которого служат выбранные точки, а катеты параллельны осям координат. При этом если прямая образует с положительным направлением оси абсцисс острый угол, то искомый угловой коэффициент будет равен тангенсу соответствующего острого угла в построенном треугольнике. Если же этот угол тупой, то в ответ нужно записать число, противоположное найденному тангенсу (т. е. полученную величину со знаком «минус»). При этом лучше сразу в решении фиксировать знак углового коэффициента, чтобы потом не ошибиться, записывая ответ. Проконтролировать, правильно ли определён знак углового коэффициента, можно ещё и следующим образом: мысленно провести прямую, параллельную данной, через начало координат. Если полученная таким образом прямая лежит в первой и третьей четвертях, то угловой коэффициент положителен, если во второй и четвёртой — отрицателен.
Пример 2. Найдите угловой коэффициент прямой, изображённой на рисунке 49.
Решение. Прямая образует с положительным направлением оси абсцисс острый угол. Поэтому её угловой коэффициент k, равный тангенсу этого угла, положителен. Для его вычисления выберем на прямой две точки, расположенные в узлах сетки. Пусть это будут, например, точки А и В (рис. 50).
Пример 1. На рисунке 56 изображён график квадратичной функции.
а) Найдите значение функции при х = 3.
б) Найдите значения х, при которых у = 1.
в) Определите наибольшее значение функции.
Решение.
а) Проведём через точку 3 оси абсцисс прямую, параллельную оси ординат. Эта прямая пересечёт параболу в точке с ординатой 4.
б) Проведём через точку 1 оси ординат прямую, параллельную оси абсцисс. Эта прямая пересечёт параболу в точках с абсциссами 0 и 4.
в) Наибольшему значению функции соответствует ордината вершины параболы, она равна 5.
Ответ: а) 4; б) 0; 4; в) 5.
Заметим, что типичной ошибкой при решении задания в) является запись в ответ абсциссы вершины, а не её ординаты. Следует акцентировать внимание учащихся на этом факте.
Пример 2. На рисунке 57 изображён график квадратичной функции у = ах2 + + Ьх + с. »
а) Найдите значение коэффициента с.
б) Найдите значение коэффициента а.
в) Найдите значение коэффициента Ь.
г) Найдите значение функции при х = 5.
Решение.
Уроки 101—102*. Графики более сложных функций
Эти уроки посвящены более сложным графикам функций и их применению к решению задач, которые можно с некоторой степенью правдоподобия назвать исследовательскими. Отметим, что эта сложность в большей степени обусловлена либо формулой, задающей функцию, либо самим условием, требующим исследования взаимного расположения графиков двух функций и ответа на определённые вопросы о числе их общих точек в зависимости от некоторой величины. Формула, как правило, после определённых преобразований (сокращения дроби, раскрытия модуля, приведения подобных) представляет собой формулу, задающую элементарную функцию, графиком которой или частью графика которой является прямая, парабола, гипербола или их части, возможно, с удалёнными (выколотыми) точками (последние могут появиться в случае задания функции с помощью алгебраической дроби, область определения которой находят из условия неравенства нулю её знаменателя).
Пример 1. Найдите р и постройте в одной системе координат графики функций у = -х2 — р и у = 6х + 10, если известно, что они имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки.
Решение.
Составим уравнение по условию задачи: —х2 — р = 6х + 4- 10, откуда х2 + 6х + р + 10 = 0. Полученное квадратное уравнение должно иметь единственный корень, являющийся абсциссой общей точки графиков. Значит, дискриминант D этого уравнения равен нулю. Из условия равенства нулю дискриминанта получим 9 — р — 10 = 0, откуда р = -1. Тогда уравнение примет вид х2 + 6х + 9 = 0, откуда х = — 3. Ординату общей точки найдём, подставив полученную абсциссу в уравнение прямой: у = -8. Данная квадратичная функция имеет вид у = -х2 + 1. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, вершина имеет координаты (0; 1), точки пересечения с осью абсцисс: (0; 1), (-1; 0). Графиком функции у = 6х + 10 является прямая, проходящая через найденную точку (-3; -8) и точку (0; 10). Графики изображены на рисунке 63.

III. МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ»
1. ТРЕУГОЛЬНИКИ И МНОГОУГОЛЬНИКИ
ПРИМЕРНОЕ ПОУРОЧНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ (ВСЕГО 20 ч)
Уроки 105—106. Прямые, отрезки, углы.
Уроки 107—108. Равнобедренный и равносторонний треугольники.
Уроки 109—110. Прямоугольный треугольник.
Уроки 111—112. Произвольный треугольник.
Уроки 113—114. Формулы площади треугольника.
Уроки 115—116. Параллелограмм. Площадь параллелограмма.
Уроки 117—118. Прямоугольник, квадрат, ромб, их площади.
Уроки 119—120. Трапеция.
Уроки 121 —122. Площадь трапеции.
Уроки 123—124. Диагностическая работа 7. Разбор задач диагностической работы. Решение задач.
Краткие методические рекомендации к урокам
Задачи по планиметрии с кратким ответом и с развёрнутым ответом (полным решением) встречаются в вариантах ОГЭ по математике среди задач как базового, так и повышенного и высокого уровня сложности.
Задачи с кратким ответом представляют собой достаточно традиционные несложные задачи на вычисление углов, расстояний, длин и площадей плоских фигур, в том числе по готовому чертежу, в некоторых случаях сделанному на бумаге в клетку или в прямоугольной системе координат (с указанием координат данных точек в условии или на чертеже). Задачи с развёрнутым ответом (полным решением) требуют уверенного владения материалом школьной программы по геометрии и умения применять изученные теоремы в более сложных случаях.
Уроки 105—106. Прямые, отрезки, углы
Первые два урока этого модуля посвящены повторению начальных сведений по геометрии. Для решения задач уроков достаточно представления о том, что такое отрезок и угол, какие прямые называются параллельными, какие — перпендикулярными, какие углы называются вертикальными, какие — смежными, как называются пары углов, которые образуются при пересечении двух параллельных прямых третьей. Помимо этих понятий, потребуется знание основных фактов, связанных с перечисленными углами:
• сумма смежных углов равна 180°;
• вертикальные углы равны;
• соответственные углы равны;
• накрест лежащие углы равны;
• сумма односторонних углов равна 180°;
• сумма углов треугольника равна 180°.
Пример 1. На рисунке 66 изображены параллельные прямые FE, MN и секущая АВ, пересекающая FE в точке С, a MN в точке D. Выполните следующие задания:
а) Установите соответствие между парами углов и их названиями.
В таблице под каждой буквой укажите номер соответствующего названия.

Предложения интернет-магазинов