ОГЭ. Математика. Новый полный справочник. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.

ОГЭ. Математика.  Справочник содержит материал курса «Математика» в объёме, проверяемом на государственной итоговой аттестации. Структура книги соответствует современному кодификатору элементов содержания по предмету, на основе которого формируются контрольные измерительные материалы (КИМы) основного государственного экзамена (ОГЭ). Справочник состоит из двух глав. Первая глава «Арифметика. Алгебра» соответствует содержанию курсов математики 5-6 классов и алгебры 7-9 классов основной школы, вторая глава «Геометрия» — содержанию курса геометрии 7-9 классов.

ОГЭ. Математика. Новый полный справочник. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.

Описание учебника

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 13
ГЛАВА I АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
§ 1. Натуральные числа 17
1.1. Десятичная запись натуральных чисел 17
1.2. Арифметические действия над натуральными числами. Степень с натуральным показателем 18
1.3. Делимость натуральных чисел 20
1.4. Признаки делимости 21
1.5. Простые и составные числа 22
1.6. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное 24
1.7. Деление с остатком 26
Примеры заданий № 1 27
§ 2. Дроби 31
2.1. Обыкновенная дробь. Основное свойство дроби. Сравнение дробей 31
2.2. Арифметические действия с обыкновенными дробями 34
2.3. Десятичная дробь. Сравнение десятичных дробей 35
2.4. Арифметические действия с десятичными дробями 37
2.5. Нахождение части от целого и целого по его части 39
2.6. Представление обыкновенной дроби в виде десятичной. Бесконечные периодические десятичные дроби 40
2.7. Округление чисел 42
Примеры заданий № 2 43
2.8. Проценты 47
2.9. Нахождение процентов от величины и величины по её процентам 48
2.10. Отношение. Процентное отношение 49
2.11. Пропорции 50
2.12. Прямая и обратная пропорциональные зависимости 52
Примеры заданий № 3 53
§ 16. Треугольник
Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.
Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу
Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого, то такие треугольники равны.
Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
Рассмотрим некоторые свойства прямоугольного треугольника.
О Катет, лежащий против угла, величина которого равна 30°, равен половине гипотенузы.
На рисунке 16.29 ZACB = 90°, ZBAC = 30°, поэтому BC = AB.
Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
О Если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
На рисунке 16.29 ZACB = 90°, BC = — AB, поэтому ZBAC = 30°.
О Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине.
На рисунке 16.30 отрезок СМ — медиана, проведённая к гипотенузе, поэтому CM = 1 AB.
2
Задача. Докажите равенство прямоугольных треугольников по острому углу и биссектрисе, проведённой из вершины этого угла. Решение. В треугольниках ABC и A1B1C1 (рис. 16.31) ZC = ZC1 = 90°, ZBAC = ZB1A1C1, отрезки AD и A1D1 — соответственно биссектрисы треугольников ABC и A1B1C1, AD = A1D1.
Имеем: ZCAD = 2ZBAC = 2zB1A1C1 = ZC1A1D1. 22
Поскольку AD = A1D1, то прямоугольные треугольники ACD и A1C1D1 равны по гипотенузе и острому углу. Отсюда AC = A1C1, и так как ZBAC = ZB1A1C1, то прямоугольные треугольники ABC и A1B1C1 равны по катету и прилежащему острому углу.

Задача. Докажите, что середины сторон четы рёхугольника являются вершинами параллело грамма.
Решение. В четырёхугольнике ABCD точки M, N, K и P — середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно (рис. 16.37).
Отрезок MN — средняя линия треугольника ABC. По свойству средней линии
Рис. 16.37
MN || AC и MN = 1 AC. Отрезок PK — средняя линия треугольника ADC.

16.11. Подобные треугольники
Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого треугольника.
На рисунке 16.38 изображены треугольники ABC и A1B1C1, у которых ZA = ZA1, ZB = ZB1, ZC = ZC1

Второй признак подобия треугольников: по двум сторонам и углу между ними
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

2. Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC, изображённого на рисунке 16.46. Чему равен периметр треугольника ABC? Ответ дайте в сантиметрах.
3. В каком случае можно утверждать, что треугольник является равносторонним?
1) сторона треугольника в 3 раза меньше его периметра
2) каждая сторона треугольника в 3 раза меньше его периметра
3) две высоты треугольника равны
4) две биссектрисы треугольника равны
4. Укажите количество верных утверждений.
1) если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны
2) если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны
§ 16. Треугольник
3) если сторона и два угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны
На рисунке изображён равнобедренный треугольник ABC с основанием AC, периметр которого равен i8 см. Периметр треугольника ABM, A C где точка M — середина отрезка AC, равен i2 см. Найдите медиану BM. Ответ дайте в сантиметрах.
В треугольнике ABC известно, что AB = BC, ZABC = 1120. Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.
Углы треугольника относятся как 4:5:9. Чему равна разность между наибольшим и наименьшим углами треугольника? Ответ дайте в градусах.

11. Треугольник ABC, изображённый на рисунке 16.50, — прямоугольный равнобедренный. Лучи BD, BE, BF и BK делят прямой угол треугольника на 5 равных углов. Какова градусная мера угла а?
12. В треугольнике ABC известно, что AB = 3 см, BC = 7 см. Какой может быть длина стороны AC ?
1) 3 см 3) 8 см
2) 4 см 4) 12 см
13. Параллельные прямые AB и CD пересекают стороны угла O, изображённого на рисунке 16.51, OB = 8 см, BD = 6 см, AC = 12 см. Найдите отрезок AO. Ответ дайте в сантиметрах.

Предложения интернет-магазинов