ОГЭ 2020. Математика от А до Я. Задачи по алгебре. Ященко И.В., Шестаков С.А.

ОГЭ 2020. Математика от А до Я. Задачи по алгебре. Настоящее пособие является первой частью модульного курса «ОГЭ по математике от А до Я» и предназначено для подготовки к Основному государственному экзамену (ОГЭ) по математике в той его части, которая связана с арифметическими, алгебраическими, а также практико-ориентированными задачами (задания 1—15 первой части варианта ОГЭ по математике и задания 21—23 второй его части).
В 2020 году, как и в 2019 году, экзаменационный вариант состоит из двух частей и содержит 26 заданий.

ОГЭ 2020. Математика от А до Я. Задачи по алгебре. Ященко И.В., Шестаков С.А.

Описание учебника

Задание 22
Краткие методические рекомендации
Задание 22 ОГЭ по математике представляет собой традиционную текстовую задачу по одной из трёх тем: «Движение», «Производительность и работа», «Проценты и концентрация». Некоторые из этих задач можно решить арифметически, не прибегая к составлению уравнений, другие требуют составления одного или двух уравнений и их решения.
Задачи на движение
Во всех задачах на движение допускается определённая идеализация: считается, что тела движутся прямолинейно и равномерно, скорости (в том числе скорость течения) постоянны в течение определённых промежутков времени, не меняются при поворотах и т. д., движущиеся тела считаются (если не оговорено противное) материальными точками, т. е. не имеющими размеров и массы (вернее, их размеры и масса несущественны для решения задачи). Даже решение задач на движение по окружности не требует применения специальных понятий— угловой скорости и т. п.; здесь точнее было бы говорить о движении по замкнутой трассе.
При решении задач на движение двух тел очень часто удобно считать одно тело неподвижным, а другое — приближающимся к нему со скоростью, равной сумме скоростей этих тел (при движении навстречу) или разности скоростей (при движении вдогонку). Такая базовая модель помогает разобраться с условием задачи и получить нужные уравнения даже в таком относительно трудном случае, как движение по окружности.
Если расстояние между пунктами, из которых начинают движение два тела, не задано, иногда бывает удобно положить его равным единице.
Основными типами задач на движение являются следующие:
• задачи на движение по прямой (навстречу и вдогонку),
• задачи на движение по замкнутой трассе,
• задачи на движение протяжённых тел,
• задачи на движение по воде,
• задачи на среднюю скорость.
Рассмотрим более подробно каждый из этих типов задач, выделив, где необходимо, базовые задачи.

В задачах на движение по воде скорость течения считается неизменной. При движении по течению скорость течения прибавляется к скорости плывущего тела, а при движении против течения вычитается из скорости тела. Скорость плота считается равной скорости течения.
Пример 4. Рыболов отправляется на лодке от пристани с намерением вернуться через 7 ч. Перед возвращением он хочет пробыть на берегу 4 ч. На какое наибольшее расстояние он может отплыть, если скорость течения реки равна 1 км/ч, а собственная скорость лодки равна 6 км/ч?
Решение. Пусть искомое расстояние равно л: км. Скорость лодки при движении против течения равна 5 км/ч, а при движении по течению равна 7 км/ч. Время, за которое лодка доплывёт от места отправления до места назначения и обратно, равно | + | ч. Из условия задачи следует, что это время равно 3 ч. Составим уравнение по условию задачи: ^ + — = 3. Решив уравнение, получим х = 8,75.
Ответ. 8,75 км.

В задачах на движение протяжённых тел требуется, как правило, определить длину одного из них. Наиболее типичная ситуация — определение длины поезда, проезжающего мимо столба или протяжённой платформы. В первом случае поезд проходит мимо столба расстояние, равное длине поезда, во втором случае — расстояние, равное сумме длин поезда и платформы.
Пример 6. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй — длиной 80 метров. Второй сухогруз сначала отстаёт от первого на 900 метров, но уже через 27 минут опережает первый на 1,6 километра. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?
Решение. Будем считать, что первый сухогруз неподвижен, а второй приближается к нему со скоростью х м/мин, равной разности скоростей второго и первого сухогрузов. Тогда за 27 минут второй сухогруз проходит расстояние 1 = 900 + 80 + 120 + 1600 = 2700 (м). 2700
Поэтому х = у- = 100 м/мин, т. е. 6 км/ч.
Ответ. 6 км/ч.

Задачи на производительность и работу
В определённом смысле задачи на производительность (работу) схожи с задачами на движение: роль скорости здесь играет производительность, роль расстояния — объём работы. В тех случаях, когда объём работы в явном виде не задан, его иногда удобно принять равным единице. Существенно разных задач здесь практически нет, во всех случаях речь идёт о выполнении определённой работы, меняются только сюжеты, а «математическая» фабула остаётся одной и той же. Иногда в задачах на работу выделяют группу задач на трубы и бассейны, решение которых, вообще говоря, не имеет никаких специфических черт по сравнению с другими задачами на работу.
В некоторых случаях при решении задач на совместную работу можно обойтись без решения уравнений, используя только арифметический способ. Правда, для этого порой приходится прибегать к гипотетическим допущениям.
Пример 8. Маша и Даша за день пропалывают 3 грядки, Даша и Глаша — 4 грядки, а Глаша и Маша — 5 грядок. Сколько грядок за день смогут прополоть девочки, работая втроём?
Решение. Вообразим, что сначала Маша и Даша работали один день, затем Даша и Глаша работали один день, а потом Глаша и Маша работали ещё один день. Получается, что каждая из девочек работала два дня, или что бригада, состоящая из Маши, Глаши и Даши, прополола 3+4+5=12 грядок за два дня. Значит, за один день эта бригада прополет вдвое меньше грядок, т. е. 6.
Ответ. 6.
Ключевой в задачах на работу является следующая.
Пример 9. Первый мастер может выполнить некоторую работу за а часов, а второй мастер — за Ъ часов. За какое время выполнят работу оба мастера, работая вдвоём?
Задание 22

Задачи на проценты и концентрацию
Задачи на концентрацию (т. е. на процентное содержание какого-то вещества в его растворе, сплаве или смеси) традиционно являются слабым звеном в подготовке школьников, кажутся многим из них довольно сложными. В таких задачах речь обычно идёт об изменении концентрации этого вещества после каких-либо манипуляций. При этом водные растворы, смеси или сплавы играют сходные роли и позволяют лишь несколько разнообразить сюжеты задач без изменения математического содержания. Ключевой при решении таких задач является идея отслеживания изменений, происходящих с «чистым» веществом (далее кавычки будем иногда опускать).
При решении задач на концентрацию, сплавы, смеси целесообразно для наглядности использовать метод, который иногда не вполне научно называют «методом банок». Название появилось потому, что указанные в задаче вещества изображаются в виде условных «банок», каждая из которых делится на две части — верхнюю и нижнюю. В нижней записывается количество «чистого» или «сухого» вещества для каждой «банки», что позволяет почти автоматически получить нужное уравнение или даже ответ. Проиллюстрируем «метод банок» несколькими примерами.
Пример 12. Найдите концентрацию кислоты, полученной при смешивании 20 кг её 60-процентного и 30 кг её 20-процентного растворов.

В данном случае можно было бы не использовать формулу: ведь если в 50 кг раствора содержится 18 кг чистой кислоты, то в 100 кг этого раствора будет ровно 36 кг чистой кислоты, т. е. 36 сотых от 100, а значит, искомая концентрация равна 36%.
Ответ. 36%.
Иногда вместо «сложения банок» приходится использовать «превращение» одной «банки» в другую.
Пример 13. Виноград содержит 87% влаги, а изюм — 9%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 39 килограммов изюма?

Предложения интернет-магазинов