Уроки геометрии в задачах. 7-8 классы. Волчкевич М.А.

Уроки геометрии в задачах. 7-8 классы. В книге много рисунков — это сильно экономит время на уроках. Перед каждым параграфом дается справочный материал — формулировки основных теорем и определения. Материал каждой темы строится по классическому принципу: от простого к сложному. Первые задачи доступны каждому школьнику, последние достигают уровня серьезных математических олимпиад. Книга предназначена для школьников, преподавателей математики, студентов педагогических вузов и университетов.

Уроки геометрии в задачах. 7-8 классы. Волчкевич М.А.

Описание учебника

Нигде кроме геометрии нет такого разнообразия красивых фактов и задач, для получения которых нужно лишь немного теории. Это похоже на игру в шахматы — знание основных теорем здесь подобно лишь умению делать ходы фигурами, то есть правилам игры. Любая содержательная задача — это уже комбинация, сопоставление фактов, в ней всегда нужно сделать несколько ходов.
Видя это разнообразие, родители учеников часто задают мне один вопрос: «Нельзя ли почитать какой-нибудь учебник, решить из него несколько хороших и правильных задач и научиться всему этому побыстрее?» Слыша такое, я всегда улыбаюсь: ровно тот же вопрос задавал две тысячи лет назад египетский царь Птолемей великому Евклиду. Ответ Евклида давно уже стал афоризмом: «В геометрии нет царского пути!» Я готов подтвердить, что не существует списка из ста таких задач. Над списком из тысячи я бы уже подумал. Единственное, что тут можно сделать, — это устроить так, чтобы ребята решали много хороших задач и делали это с удовольствием для себя. Наверное, так же учат иностранные языки, учатся музыке, да и любому содержательному умению.
Подборка задач к каждой теме выстроена так, чтобы показать содержащийся в ней метод со всех сторон, так сказать, повернуть его разными гранями. По этой причине около половины всех задач книги оригинальны — они были специально мной придуманы как вариации основных идей для отработки ребятами необходимых навыков и умений.Теперь несколько слов для учителей. Логика самого курса геометрии в данной книге такова, что признаки равенства прямоугольных треугольников, теорема о внешнем угле, о большей стороне и неравенство треугольника здесь доказываются без использования аксиомы параллельных, которая проходится уже во второй половине седьмого класса. То есть все эти утверждения относятся еще к абсолютной геометрии. Такой подход соответствует знаменитому старому учебнику А. П. Киселева или современному учебнику В. А. Смирнова. Аксиома параллельных, таким образом, стоит особняком — именно она отделяет геометрию Евклида от других геометрий. Пусть ребята хорошо запомнят этот ее краеугольный камень! В восьмом классе площадь проходится раньше теоремы Пифагора и подобия фигур. Мне это кажется оправданным, поскольку понятие площади очень естественно и легко воспринимается школьниками. К тому же древние греки делали именно так. Например, через площадь они легко доказывали лемму о пропорциональных отрезках или ту же теорему Пифагора. Данная книга представляет собой первую часть всего курса планиметрии, ориентированную на 7 и 8 классы. Следующая часть будет посвящена программе 9 класса и повторению планиметрии в 11 классе перед подготовкой к вступительным испытаниям.
Книга может быть эффективно использована на уроках геометрии в средней школе, особенно в классах с углубленным изучением математики. Она также подойдет для подготовки к олимпиадам, экзаменам и для самостоятельного обучения.

Аксиомы прямой
1. Для любой прямой на плоскости всегда можно взять точку, лежащую на ней, и точку, не лежащую на этой прямой.
2. Через любые две точки на плоскости проходит только одна прямая.
3. Из любых трех точек на прямой только одна лежит между двумя другими.
4. Прямая всегда разбивает плоскость на две части (полуплоскости)1. Если концы отрезка лежат в разных полуплоскостях, то он пересекает прямую; если же его концы принадлежат одной полуплоскости, то он ее не пересекает.
Отрезком называется множество всех точек на прямой, лежащих между двумя данными ее точками. Данные точки называются концами отрезка. Концы отрезка также принадлежат ему.
Лучом называется множество всех точек на прямой, лежащих по одну сторону от данной ее точки2. Данная точка называется началом луча. Начало луча также принадлежит ему.
1. Как видно из рисунка, две окружности могут пересекаться в двух точках. Докажите, что две различные прямые могут пересекаться только в одной точке.
1 Сама прямая не входит ни в одну из полуплоскостей.
2 Правильнее было бы сказать, что точки луча находятся в одной полуплоскости относительно любой другой прямой, проходящей через его начало.
2. Через точку на плоскости провели прямую. Докажите, что через данную точку можно провести еще одну прямую, отличную от первой.
3. Сколько существует лучей с началом в данной точке А, проходящих через данную точку В?
4. На прямой отметили три точки. Сколько всего получилось лучей с началами в данных точках?
5. На плоскости отметили четыре точки. Через любые две из них провели прямую. Сколько всего при этом могло получиться прямых? (Разберите все случаи.)
6. Нарисуйте четыре прямые так, чтобы они пересекали друг друга ровно в пяти точках.
7. Могут ли семь прямых пересекаться ровно в девяти точках?
8. В каком наибольшем числе точек могут пересекаться 20 прямых?
9. В каком числе точек пересекают друг друга 15 прямых, никакие три из которых не пересекаются в одной точке, если среди них есть ровно две параллельные?
10. В каком числе точек пересекаются 10 прямых, если среди них нет параллельных и ровно три из них проходят через одну точку?
11. Незнайка утверждает, что окружность — это прямая. Почему он не прав? Приведите три возражения, ссылаясь на приведенную таблицу и аксиомы.

Предложения интернет-магазинов